WikiSort.ru - Космос

Брахмагупта
ब्रह्मगुप्त
Брахмагупта
Дата рождения	598 или 598
Место рождения	Бхинмал, Индия
Дата смерти	670 или 670
Страна	Индия
Научная сфера	математика, астрономия
Брахмагупта на Викискладе

Брахмагупта, Брамагупта (санскр. ब्रह्मगुप्त, ок. 598—670) — индийский математик и астроном. Руководил обсерваторией в Удджайне. Оказал существенное влияние на развитие астрономии в Византии и исламских странах, стал использовать алгебраические методы для астрономических вычислений, ввёл правила операций с нулём, положительными и отрицательными величинами. До нашего времени сохранилось его основное сочинение «Брахма-спхута-сиддханта^[en]» («Усовершенствованное учение Брахмы», или «Пересмотр системы Брахмы»). Большая часть сочинения посвящена астрономии, две главы (12-я и 18-я) математике.

Биография

Брахмагупта родился приблизительно в 598 году. Это следует из книги «Брахма-спхута-сиддханта», в которой он сообщает, что написал этот текст в возрасте 30 лет в 628 году (Śaka 550)^[1][2]. Брахмагупта родился в Бхилламале^[en] в штате Раджастхан Северо-Западной Индии), который в то время был столицей земель династии Gurjara. Его отцом был Джиснугупта^[3]. Вероятно, он прожил большую часть жизни в Бхинмале во время правления (и, возможно, под покровительством) правителя Вьяграмукхи^[4], поэтому его нередко именуют Бхилламакарья (учитель из Бхиллама)^[5]. Брахмагупта был руководителем астрономической обсерватории в Удджайне. Обсерватория, в которой также работал Варахамихира, была лучшей в древней Индии^[3].

На исследования Брахмагупты оказали серьёзное влияние его религиозные взгляды. Будучи правоверным индуистом, он критиковал космологические воззрения некоторых его современников, в частности точку зрения Ариабхаты, утверждающего что Земля есть вращающаяся сфера^[6]. Брахмагупта спорил с Ариабхатой и о природе солнечных затмений^[7]:

Хотя Брахмагупта был знаком с работами Ариабхаты, неизвестно, был ли он знаком также с работами Бхаскары. Работы Брахмагупты содержат многочисленные критические замечания в адрес современных ему астрономов, а содержание «Брахма-спхута-сиддханты» свидетельствует о расколе среди индийских математиков того времени. Разногласия были обусловлены в значительной степени выбором астрономических параметров и теории. Критика теорий оппонентов Брахмагупты содержится в первых двенадцати главах «Брахма-спхута-сиддханты» и отсутствует в тринадцатой и восемнадцатой главах.

Арабский учёный Аль-Бируни в своей книге «Китаб аль-Хинд» (около 1035) проанализировал и описал идеи индийских астрономов. В своей работе он ссылается на Брахмагупту как самый крупный авторитет^[8].

Основные труды

Известно два основных труда Брахмагупты: Brahmasphutasiddhanta (Брахма-спхута-сиддханта) (628), Khandakhadyaka (Кхандакхадьяка) (665)^[9].

Вклад в математику

В своей работе Брахма-спхута-сиддханта Брахмагупта дал определение нуля как результат вычитания из числа самого числа. Он одним из первых установил правила арифметических операций над положительными и отрицательными числами и нулём, рассматривая при этом положительные числа как имущество, а отрицательные числа как долг. Далее Брахмагупта пытался расширить арифметику дав определение деления на ноль^[3]. Согласно Брахмагупте^[3][11],

• Деление нуля на нуль есть ноль;
• Деление положительного или отрицательного числа на ноль есть дробь с нулём в знаменателе;
• Деление нуля на положительное или отрицательное число есть ноль.

Брахмагупта предложил три метода умножения многозначных чисел в столбик (основной и два упрощённых), которые близки к тем, что используются в настоящее время. Основной метод Брахмагупта назвал «gomutrika», что в переводе Ифра означает «как траектория мочи коровы» (англ. "like the trajectory of cow's urine")^[3].

Брахмагупта также предложил метод приближённого вычисления квадратного корня, эквивалентный итерационной формуле Ньютона (Newton-Raphson), метод решения некоторых неопределённых квадратных уравнений вида ax² + c = y², метод решения неопределённых линейных уравнений вида ax + c = by, используя метод последовательных дробей^[3].

Он определил сумму квадратов и кубов первых n чисел через сумму первых n чисел, утверждая что «Сумма квадратов есть сумма чисел, умноженная на удвоенное число шагов, увеличенное на единицу, и делённая на три. Сумма кубов есть квадрат суммы чисел до одного и того же числа»^[11][11]. Формулы, которые можно записать как …, приводятся без доказательства^[3].

В работе Кхандакхадьяка Брахмагупта предложил интерполяционную формулу второго порядка, являющуюся частным случаем выведенной более чем через 1000 лет интерполяционной формулы Ньютона — Стирлинга. Он использовал её для интерполяции значений синуса в составленных им тригонометрических таблицах^[12]. Формула даёт оценку значения функции f при значении её аргумента a + xh (при h > 0 и −1 ≤ x ≤ 1), когда её значение уже известно в точках a − h, a и a + h. Она записывается следующим образом:

${\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x\left({\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}\right)+{\frac {x^{2}\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}},}$

где Δ — оператор восходящей конечной разности первого порядка, то есть

${\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).}$

Брахмагупта предложил формулу вычисления площади четырёхугольника, вписанного в окружность^[3]. Формула Брахмагупты является обобщением формулы Герона для площади треугольника. А именно, площадь S вписанного в окружность четырёхугольника со сторонами a, b, c, d и полупериметром p равна

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

При этом сам Брахмагупта не уточнил, что формула верна только для четырёхугольников, которые можно вписать в окружность, поэтому некоторые историки полагают здесь ошибку Брахмагупты^[3].

Известна ещё одна формула Брахмагупты для радиуса описанной окружности произвольного треугольника:

${\displaystyle R={\frac {ab}{2h_{c}}}={\frac {bc}{2h_{a}}}={\frac {ac}{2h_{b}}},}$

где a, b, c — стороны треугольника, h_a, h_b и h_c — его высоты.

Теорема Брахмагупты

Основная статья: Теорема Брахмагупты

Пусть имеется вписанный четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикуляр на одну из его сторон. Будучи продолженным по другую сторону от точки пересечения диагоналей, этот перпендикуляр делит противоположную сторону четырёхугольника на две равные части.

Вклад в астрономию

Брахмагупта полагал Землю неподвижной (не вращающейся вокруг своей оси) и в своей работе Брахма-спхута-сиддханта указал продолжительность года как 365 дней 6 часов 5 минут и 19 секунд, в то же время в последующей работе Кхандакхадьяка продолжительность года указана как 365 дней 6 часов 12 минут и 36 секунд. Возможно, что второе значение было взято у Ариабхаты^[3].

Астрономические представления Брахмагупты, изложенные в Брахма-спхута-сиддханта, свидетельствуют о высоком уровне его исследований и научной прозорливости. Так, в седьмой главе труда, которая называется «О затмении Луны», Брахмагупта опровергает представление о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце^[14].

7.1. Если бы Луна была выше Солнца, то её ближняя к Солнцу половина всегда была бы освещена.

7.2. Аналогично, освещённая Солнцем часть Луны всегда была бы видна, а неосвещённая часть оставалась бы невидимой.

7.3. Яркость [освещённой части Луны] увеличивается в направлении Солнца. В конце светлого полумесяца половина освещена и другая половина темна. Таким образом, высота рогов полумесяца может быть вычислена.

Брахмагупта объясняет, что поскольку Луна ближе к Земле, чем Солнце, степень освещённости Луны зависит от взаимного расположения Солнца и Луны и может быть вычислена исходя из величины угла между этими двумя небесными телами.

Важным вкладом Брахмагупты в астрономию являются методы расчта положения небесных тел с течением времени (эфемериды), их восходов и заходов, соединений, а также расчёта солнечных и лунных затмений. Брахмагупта подверг критике представления пуранической космологии о том, что Земля является плоской или полой. Он утверждал что Земля и небо имеют сферическую форму и что Земля движется. В 1030 году газневидский астроном Абу аль-Райхан аль-Бируни в своем труде «Та’рих аль-Хинд» прокомментировал работу Брахмагупты. Бируни отмечал, что на замечания критиков теории шарообразной Земли («Если бы это было так, камни и деревья будут падать с земли») Брахмагупта ответил:

Напротив, если бы это было так, то Земля не могла бы сохранять свою форму даже в течение минут. […] Все тяжёлые вещи притягиваются к центру Земли […] Земля одинакова со всех сторон. Все люди на Земле стоят, и все тяжёлые вещи падают на землю по закону природы, так устроена природа Земли, чтобы притягивать и держать вещи, также как природа воды — течь, огня — гореть, ветра — приводить в движение … Земля — это единственная низкая вещь, все предметы всегда вернутся к ней из любого направления, куда бы вы их не бросили, и никогда не поднимутся вверх от земли.

— Брахмагупта, Брахма-спхута-сиддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)

О силе тяжести Земли Брахмагупта говорил:

Тела падают на землю, так как это в природе Земли — притягивать их, так же как в природе воды — течь.

— Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2

Сочинения

Основной труд Брахмагупты, «Усовершенствованное учение Брахмы» («Брахма-спхута-сиддханта», 628)^[15], содержит 25 разделов:

1. О состоянии земного шара и форме неба и земли.
2. Об оборотах светил и об определении времени; о том, как находить средние положения светил; об определении синуса дуги.
3. О составлении таблицы светил.
4. О трёх проблемах, а именно: о тени, о истекшей части дня и о гороскопе; а также о том, как выводить одно из них из другого.
5. О том, как светила появляются из-за лучей Солнца и как они скрываются за ними.
6. О том, как показывается молодой месяц, и о его двух рогах.
7. О затмении Луны.
8. О затмении Солнца.
9. О тени Луны.
10. О соединении и противостоянии светил.
11. О широтах светил.
12. О критике того, что содержится в книгах и таблицах, и о различении правильного от неправильного.
13. Об арифметике и её применении в исчислении расстояний и в других случаях.
14. Об уточнении среднего положения светил.
15. Об исправлении таблицы светил.
16. О точном исследовании трёх проблем.
17. Об отклонении затмений.
18. О точном определении появления молодого месяца и его двух рогов.
19. О методе «куттака».
20. О расчётах в размерах стихов и метрике.
21. Об окружностях и инструментах.
22. О четырёх мерах времени — по Солнцу, по восходу, по Луне и по лунным станциям.
23. О знаках для чисел и цифр в стихотворных сочинениях по этому предмету.
24. О доказательствах, не использующих математику.^{[источник не указан 2028 дней]}

Вторая работа Брахмагупты, «Кхандакхадьяка» (655), также представляет собой фундаментальный труд по астрономии.

Публикации

• Brahmagupta. Brahma-Sphuta-Siddhanta. New Delhi, 1966. vol. 1.

Примечания

См. также

• История математики в Индии
• Индийская астрономия
• Учение о сигнатурах
• Решение треугольников
• Теорема Брахмагупты
• Формула Брахмагупты
• Интерполяционная формула Брахмагупты
• Построение с помощью циркуля и линейки
• Брахма-спхута-сиддханта^[en]
• Тождество Брахмагупты — Фибоначчи^[en]
• Вписанный четырёхугольник
• Тождество Брахмагупты^[en]*
• Задача Брахмагупты^[en]*
• Матрица Брахмагупты^[en]

Литература

• Brahmagupta, Bhaskara, Colebrooke H.-T. Algebra, with arithmetic and mensuration, from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara. — John Murray, 1817. — 378 p.  (англ.)
• Plofker K. Mathematics in India // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook / Editor Katz V. J.. — Princeton University Press, 2007. — 685 p.  (англ.)

• Ван дер Варден Б. Л. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. Успехи математических наук, 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. — М.: Наука, 1977.
• Юшкевич А. П. История математики в средние века. — М.: Физматгиз, 1961.
• Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. The Mathematics Education, 8, 1974, p. 33-36.
• Sarasvati Amma T. A. Geometry in ancient and medieval India. Delhi: Motilal Banarsidass, 1979.
• История математики, т.1, М., 1970.
• Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии (основные этапы развития астрономической картины мира). Изд. МГУ, 1989.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Брахмагупта
• Брахмагупта // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978. (Проверено 15 августа 2013)