WikiSort.ru - Космос

Допустим, экран уловил 4 атома водорода. При работе термоядерного реактора четыре протона превращаются в одну альфа-частицу, два позитрона и два нейтрино. Для простоты пренебрежём нейтрино (учёт нейтрино потребует точного расчёта всех стадий реакции, а потери на нейтрино составляют около процента), а позитроны проаннигилируем с 2 электронами, оставшимися от атомов водорода после изъятия из них протонов. Ещё 2 электрона пойдут на то, чтобы превратить альфа-частицу в нейтральный атом гелия, который благодаря полученной от реакции энергии будет ускорен в сопле двигателя.

Итоговое уравнение реакции без учёта нейтрино:

41
1H → 4
2He + (4m_H − m_He)c² (≈27 МэВ)

Пусть корабль летит со скоростью v. При улавливании четырёх атомов водорода в системе отсчёта корабля теряется импульс:

${\displaystyle P_{1}={\frac {4m_{\text{H}}v}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$

Теоретически достижимый импульс, с которым корабль может запустить атом гелия, можно получить из известного релятивистского соотношения между массой, энергией и импульсом:

${\displaystyle E_{\text{He}}^{2}/c^{2}-P_{2}^{2}=m_{\text{He}}^{2}c^{2}.}$

Энергия атома гелия (включая энергию покоя) не может превышать сумму масс четырёх атомов водорода, умноженную на квадрат скорости света:

${\displaystyle \max E_{\text{He}}=4m_{\text{H}}c^{2}.}$

Отсюда квадрат максимально достижимого импульса атома гелия:

${\displaystyle P_{2}^{2}=(4m_{\text{H}})^{2}c^{2}-m_{\text{He}}^{2}c^{2}.}$

Если корабль в результате улавливания и использования четырёх атомов водорода не ускорился и не замедлился, значит, импульс, потерянный при их улавливании, равен импульсу, приобретённому в результате выброса атома гелия из сопла:

${\displaystyle P_{1}=P_{2},}$

${\displaystyle P_{1}^{2}=P_{2}^{2},}$

${\displaystyle {\frac {(4m_{\text{H}})^{2}v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}=(4m_{\text{H}})^{2}c^{2}-m_{\text{He}}^{2}c^{2},}$

${\displaystyle {\frac {v^{2}/c^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}=1-\left({\frac {m_{\text{He}}}{4m_{\text{H}}}}\right)^{2},}$

${\displaystyle {\frac {v}{c}}={\sqrt {\frac {1-\left({\frac {m_{\text{He}}}{4m_{\text{H}}}}\right)^{2}}{2-\left({\frac {m_{\text{He}}}{4m_{\text{H}}}}\right)^{2}}}}\approx 0{,}119.}$