В небесной механике интеграл Якоби является единственной известной сохраняющейся величиной в рамках ограниченной круговой задачи трёх тел.[1] В отличие от задачи двух тел, энергия и момент системы не сохраняются по отдельности и общее аналитическое решение получить не удается. Интеграл Якоби используется для получения численного решения в отдельных случаях.
Одной из удобных систем координат является так называемая синодическая система с началом координат в барицентре, при этом линия, соединяющая массы μ1 и μ2, выбрана в качестве оси x, а расстояние между ними выбрано в качестве единицы расстояния. Поскольку система вращается вместе с телами, то они остаются неподвижными и расположенными в точках с координатами (−μ2, 0) и (+μ1, 0)1.
В системе координат (x, y) постоянная Якоби имеет вид
где:
Заметим, что интеграл Якоби равен минус удвоенной полной энергии в расчёте на единицу массы во вращающейся системе отсчёта: первое слагаемое относится к центробежной потенциальной энергии, второе относится к гравитационному потенциалу, третье — кинетическая энергия. В данной системе отсчёта силы, действующие на частицу, включают две гравитационные силы со стороны тел, центробежную силу и силу Кориолиса. Поскольку первые три силы можно выразить через потенциалы, а последняя перпендикулярна траектории, все они консервативны, поэтому энергия, измеряемая в данной системе энергия (следовательно, и интеграл Якоби), сохраняется.
В инерциальной (сидерической) системе отсчёта (ξ, η, ζ) массы вращаются вокруг барицентра. В данной системе координат постоянная Якоби имеет вид
В синодической системе ускорения можно представить в виде производных от скалярной функции
Рассмотрим уравнения Лагранжа для движения тела:
После умножения уравнений на и соответственно и сложения всех трёх выражений получим равенство
После интегрирования получим выражение
где CJ — постоянная интегрирования.
Левая часть равенства является квадратом скорости v пробной частицы в синодической системе отсчёта.
1Данная система координат является неинерциальной, что объясняет появление слагаемых, связанных с центробежной силой и силой Кориолиса.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .