WikiSort.ru - Космос

Александрия

В Александрии Архимед познакомился и подружился со знаменитыми учёными: астрономом Кононом, разносторонним учёным Эратосфеном из Кирены, с которыми потом переписывался до конца жизни. В то время Александрия славилась своей библиотекой, в которой было собрано более 700 тыс. рукописей. Он называл Конона своим другом, в то время как две его работы «Метод механических теорем»^[en] и «Задача о быках»^[en] имеют введения, адресованные Эратосфену. По-видимому, именно здесь Архимед познакомился с трудами Демокрита, Евдокса и других замечательных греческих геометров, о которых он упоминал и в своих сочинениях.

По окончании обучения Архимед вернулся на Сицилию. В Сиракузах он был окружён вниманием и не нуждался в средствах. Из-за давности лет жизнь Архимеда тесно переплелась с легендами о нём.

Легенды

Уже при жизни Архимеда вокруг его имени создавались легенды, поводом для которых служили его поразительные изобретения, производившие ошеломляющее действие на современников. Известен рассказ о том, как Архимед сумел определить, сделана ли корона царя Гиерона из чистого золота, или ювелир подмешал туда значительное количество серебра. Удельный вес золота был известен, но трудность состояла в том, чтобы точно определить объём короны: ведь она имела неправильную форму! Архимед всё время размышлял над этой задачей. Как-то он принимал ванну и заметил, что из неё вытекает такое количество воды, каков объём его тела, погружённого в ванну, и тут ему пришла в голову блестящая идея: погружая корону в воду, можно определить её объём, измерив объём вытесненной ею воды. Согласно легенде^[1], Архимед выскочил нагишом на улицу с криком «Нашёл!» (εὕρηκα). В этот момент был открыт основной закон гидростатики — закон Архимеда.

Другая легенда, приведенная Паппом Александрийским, рассказывает, что построенный Гиероном в подарок египетскому царю Птолемею тяжёлый многопалубный корабль «Сиракузия» никак не удавалось спустить на воду. Архимед соорудил систему блоков (полиспаст), с помощью которой он смог проделать эту работу одним движением руки. По легенде, Архимед заявил при этом: Δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω («Дай мне, где стать, и Землю поверну», в другом варианте: «Дайте мне точку опоры, и я переверну мир»).

Осада Сиракуз

Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился во время осады Сиракуз римлянами в 212 году до н. э. в ходе Второй Пунической войны. Сиракузами с 215 года до н. э. правил Гиероним Сиракузский, внук Гиерона II. Гиероним поддержал в войне Карфаген, и римские войска двинулись на Сиракузы. В этот момент Архимеду было уже 75 лет. Подробное описание осады Сиракуз римским полководцем Марцеллом и участия Архимеда в обороне содержится в сочинениях Плутарха и Тита Ливия.

Построенные Архимедом мощные метательные машины забрасывали римские войска тяжёлыми камнями. Думая, что они будут в безопасности у самых стен города, римляне кинулись туда, но в это время лёгкие метательные машины близкого действия забросали их градом ядер. Мощные краны захватывали железными крюками корабли, приподнимали их кверху, а затем бросали вниз, так что корабли переворачивались и тонули (см. коготь Архимеда). В 2005 году были проведены несколько экспериментов с целью проверить правдивость описания этого «сверхоружия древности»; построенная конструкция показала свою полную работоспособность^[2].

Римляне вынуждены были отказаться от мысли взять город штурмом и перешли к осаде. Знаменитый историк древности Полибий писал: «Такова чудесная сила одного человека, одного дарования, умело направленного на какое-либо дело… римляне могли бы быстро овладеть городом, если бы кто-либо изъял из среды сиракузян одного старца».

По одной из легенд, во время осады римский флот был сожжён защитниками города, которые при помощи зеркал и отполированных до блеска щитов сфокусировали на них солнечные лучи по приказу Архимеда. Существует мнение, что корабли поджигались метко брошенными зажигательными снарядами, а сфокусированные лучи служили лишь прицельной меткой для баллист. Однако в эксперименте греческого учёного Иоанниса Саккаса (1973 год) удалось поджечь фанерную модель римского корабля с расстояния 50 м, используя 70 медных зеркал^[3]. Тем не менее достоверность легенды сомнительна; ни Плутарх, ни другие античные историки при описании оборонительных изобретений Архимеда о зеркалах не упоминают, впервые этот эпизод обнаружен в трактате Анфимия Траллийского (VI век), одного из архитекторов собора Святой Софии в Константинополе (трактат был посвящён выпуклым и вогнутым зеркалам). В XII веке легенда получила популярность после публикации Иоанном Зонара́ обширной хроники мировой истории.

Осенью 212 года до н. э. Сиракузы были взяты римлянами (по словам Плутарха, благодаря изменнику). При этом Архимед был убит.

Смерть

Рассказ о смерти Архимеда от рук римлян существует в нескольких версиях^[4]:

1. Рассказ Иоанна Цеца (Chiliad, книга II): в разгар боя 75-летний Архимед сидел на пороге своего дома, углублённо размышляя над чертежами, сделанными им прямо на дорожном песке. В это время пробегавший мимо римский воин наступил на чертёж, и возмущённый учёный бросился на римлянина с криком: «Не тронь моих чертежей!» Солдат остановился и хладнокровно зарубил старика мечом.
2. Рассказ Плутарха: «К Архимеду подошёл солдат и объявил, что его зовёт Марцелл. Но Архимед настойчиво просил его подождать одну минуту, чтобы задача, которой он занимался, не осталась нерешённой. Солдат, которому не было дела до его доказательства, рассердился и пронзил его своим мечом». Плутарх утверждает, что консул Марцелл был разгневан гибелью Архимеда, которого он якобы приказал не трогать.
3. Архимед сам отправился к Марцеллу, чтобы отнести ему свои приборы для измерения величины Солнца. По дороге его ноша привлекла внимание римских солдат. Они решили, что учёный несёт в ларце золото или драгоценности, и, недолго думая, перерезали ему горло.
4. Рассказ Диодора Сицилийского: «Делая набросок механической диаграммы, он склонился над ним. И когда римский солдат подошёл и стал тащить его в качестве пленника, он, целиком поглощённый своей диаграммой, не видя, кто перед ним, сказал: „Прочь с моей диаграммы!“ Затем, когда человек продолжил тащить его, он, повернувшись и узнав в нём римлянина, воскликнул: „Быстро, кто-нибудь, подайте одну из моих машин!“ Римлянин, испугавшись, убил слабого старика, того, чьи достижения являли собой чудо. Как только Марцелл узнал об этом, он сильно огорчился и совместно с благородными гражданами и римлянами устроил великолепные похороны среди могил его предков. Что касается убийцы, то он, кажется, был обезглавлен».
5. «Римская история от основания города» Тита Ливия (Книга XXV, 31): «Передают, что когда при той сильной суматохе, какую только могла вызвать распространившаяся во взятом городе паника, воины разбежались, производя грабёж, то много было явлено отвратительных примеров злобы и алчности; между прочим, один воин убил Архимеда, занятого черчением на песке геометрических фигур, не зная, кто он. Марцелл, говорят, был этим огорчён, озаботился погребением убитого, разыскал даже родственников Архимеда, и имя его и память о нём доставили последним уважение и безопасность».

Цицерон, бывший квестором на Сицилии в 75 году до н. э., пишет в «Тускуланских беседах» (книга V)^[6], что ему в 75 году до н. э., спустя 137 лет после этих событий, удалось обнаружить полуразрушенную могилу Архимеда; на ней, как и завещал Архимед, было изображение шара, вписанного в цилиндр.

Математика

По словам Плутарха, Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Идеи Архимеда почти на два тысячелетия опередили своё время. Только в XVII веке учёные смогли продолжить и развить труды великого греческого математика.

Математический анализ

Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Так, он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида ${\displaystyle x^{2}(a\pm x)=b}$ , корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы. Архимед провёл и полное исследование этих уравнений, то есть нашёл, при каких условиях они будут иметь действительные положительные различные корни и при каких корни будут совпадать.

Однако главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. В своей работе «Послание к Эратосфену о методе» (иногда называемой «Метод механических теорем») он использовал бесконечно малые для вычисления объёмов. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления.

В сочинении Квадратура параболы Архимед доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок). Для доказательства Архимед подсчитал сумму бесконечного ряда:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}=1+{\frac {1}{4^{1}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={4 \over 3}}$

Каждое слагаемое ряда — это общая площадь треугольников, вписанных в неохваченную предыдущими членами ряда часть сегмента параболы.

В математике, естественных науках и технике очень важно уметь находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин — их экстремумы. Например, как среди цилиндров, вписанных в шар, найти цилиндр, имеющий наибольший объём? Все такие задачи в настоящее время могут быть решены с помощью дифференциального исчисления. Архимед первым увидел связь этих задач с проблемами определения касательных и показал, как решать задачи на экстремумы.

Геометрия

Архимед сумел установить, что объёмы конуса и шара, вписанных в цилиндр, и самого цилиндра соотносятся как 1:2:3.

Лучшим своим достижением он считал определение поверхности и объёма шара — задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.

Помимо перечисленного, Архимед вычислил площадь поверхности для сегмента шара и витка открытой им «спирали Архимеда», определил объёмы сегментов шара, эллипсоида, параболоида и двуполостного гиперболоида вращения.

Следующая задача относится к геометрии кривых. Пусть дана некоторая кривая линия. Как определить касательную в любой её точке? Или, если переложить эту проблему на язык физики, пусть нам известен путь некоторого тела в каждый момент времени. Как определить скорость его в любой точке? В школе учат, как проводить касательную к окружности. Древние греки умели, кроме того, находить касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Первый общий метод решения и этой задачи был найден Архимедом. Этот метод впоследствии лёг в основу дифференциального исчисления.

Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру. В работе «Об измерении круга» Архимед дал своё знаменитое приближение для числа ${\displaystyle \pi }$ : «архимедово число» ${\displaystyle 3{\frac {1}{7}}}$ . Более того, он сумел оценить точность этого приближения: ${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}}$ . Для доказательства он построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон.

Он также доказал, что площадь круга равна ${\displaystyle \pi }$ (числу пи), умноженному на квадрат радиуса круга (${\displaystyle \pi r^{2}}$ ).

Аксиома Архимеда

В работе «О шаре и цилиндре» Архимед постулирует, что любая величина при её добавлении к себе достаточное число раз превысит любую заданную величину. Это свойство — аксиома Архимеда, включаемая сейчас в аксиоматику вещественных чисел. Она утверждает следующее:

Если имеются две величины, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ , и ${\displaystyle a}$ меньше ${\displaystyle b}$ , то, взяв ${\displaystyle a}$ слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти ${\displaystyle b}$ :

${\displaystyle \underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b}$

Механика

Архимед прославился многими механическими конструкциями. Рычаг был известен и до него , но лишь Архимед изложил его полную теорию и успешно её применял на практике. Плутарх сообщает, что Архимед построил в порту Сиракуз немало блочно-рычажных механизмов для облегчения подъёма и транспортировки тяжёлых грузов. Изобретённый им архимедов винт (шнек) для вычерпывания воды до сих пор^{[когда?]} применяется в Египте.

Архимед является и первым теоретиком механики. Он начинает свою книгу «О равновесии плоских фигур» с доказательства закона рычага. В основе этого доказательства лежит аксиома о том, что равные тела на равных плечах по необходимости должны уравновешиваться. Точно также и книга «О плавании тел» начинается с доказательства закона Архимеда. Эти доказательства Архимеда представляют собой первые мысленные эксперименты в истории механики.

Архимед рассмотрел вопрос о центре тяжести параллелограмма, треугольника, трапеции и параболического сегмента. В сочинении «О плавающих телах» Архимед доказал закон гидростатики, носящий его имя^[7].

Астрономия

Архимед построил планетарий или «небесную сферу», при движении которой можно было наблюдать движение пяти планет, восход Солнца и Луны, фазы и затмения Луны, исчезновение обоих тел за линией горизонта. Занимался проблемой определения расстояний до планет; предположительно в основе его вычислений лежала система мира с центром в Земле, но планетами Меркурием, Венерой и Марсом, обращающимися вокруг Солнца и вместе с ним — вокруг Земли^[8]. В своем сочинении «Псаммит» донёс информацию о гелиоцентрической системе мира Аристарха Самосского^[9].

Тексты и переводы

На русском языке

• Архимедовы теоремы, Андреем Таккветом, езуитом, выбранные и Георгием Петром Домкиио сокрашенные… / Пер. с лат. И. Сатарова. СПб., 1745. С. 287—457.
• Архимеда Две книги о шаре и цилиндре, измерение круга и леммы. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1823. 240 стр.
• Архимеда Псаммит, или Изчисление песку в пространстве равном шару неподвижных звезд. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1824. 95 стр.
• Новое сочинение Архимеда. Послание Архимеда к Эратосфену о некоторых теоремах механики. / Пер. с нем. Одесса, 1909. XVI, 28 стр.
• О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). / Пер. с нем. под ред. С. Н. Бернштейна. (Серия «Библиотека классиков точного знания», 3). Одесса, 1911. 156 стр.
  • 3-е изд. (Серия «Классики естествознания»). М.-Л.: ОНТИ. 1936. 235 стр. 5000 экз.
• Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит). / Пер. и прим. Г. Н. Попова. (Серия «Классики естествознания»). М.-Л., Гос. техн.-теор. изд. 1932. 102 стр.
• Архимед. Сочинения. / Перевод, вступительная статья и комментарии И. Н. Веселовского. Перевод арабских текстов Б. А. Розенфельда. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры (Физматгиз), 1962. 640 стр. 4000 экз.
  • На ilib.mccme.ru
  • На math.ru

На французском языке

• Издание в серии «Collection Budé»: Archiméde. Oeuvres.
  • T. I: De la sphère et du cylindre. — La Mesure du cercle. — Sur les conoïdes et les sphéroïdes. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2003. XXX, 488 p.
  • T. II: Des spirales. — De l'équilibre des figures planes. — L’Arénaire. — La Quadrature de la parabole. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2002. 371 p.
  • T. III: Des corps flottants. — Stomachion. — La Méthode. — Le livre des lemmes. — Le Problème des boeufs. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2002. 324 p.
  • T. IV: Commentaires d’Eutocius. — Fragments. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2002. 417 p.

Исследования

• Башмакова И. Г. Дифференциальные методы у Архимеда // Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1953. — № 6. — С. 609—658.
• Башмакова И. Г. Трактат Архимеда «О плавающих телах» // Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1956. — № 9. — С. 759—788.
• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 363—406.
• Бондаренко С.Б. Философские взгляды Архимеда (к 2300-летию со дня рождения) // Философия науки. — Новосибирск: Институт философии и права СО РАН, 2013. — № 2. — С. 176—185.
• Бондаренко С.Б. Жизнь и смерть Архимеда Сиракузского // Вопросы культурологии. — М.: ИД ПАНОРАМА, 2014. — № 10. — С. 38—42.
• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского. М.: Физматгиз, 1959.
• Веселовский И. Н. Архимед. М.: Учпедгиз, 1957. 111 стр. 30000 экз.
• Житомирский С. В. Астрономические работы Архимеда. Историко-астрономические исследования, 11, 1977, с. 319—397.
• Житомирский С. В. Архимед: Пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1981. 112 стр. 100000 экз.
• Житомирский С. В. Античная астрономия и орфизм. М.: Янус-К, 2001.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука. Том I. С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Каган В. Ф. Архимед, краткий очерк о жизни и творчестве. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. 52 стр. 20000 экз.
• Лурье С. Я. Архимед. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1945.
• Чвалина А. Архимед. М.-Л.: ОНТИ, 1934.
• Щетников А. И. Архимед, корабль Гиерона и «золотое правило механики // Сибирский физический журнал. — 1995. — № 4. — С. 74—76.
• Щетников А. И. Задача Архимеда о быках, алгоритм Евклида и уравнение Пелля // Математика в высшем образовании. — 2004. — № 2. — С. 27—40.
• Aaaboe A., Berggern J. L. Didactical and other remarks on some theorems of Archimedes and infinitesimals. Centaurus, 38, 1996, p. 295—316.
• Berggern J. L. A lacuna in Book I of Archimedes’ Sphere and Cylinder. Historia mathematica, 4, 1977, p. 1-5.
• Berggern J. L. Spurious theorems in Archimedes’ Equilibria of Planes. Archive for History of Exact Sciences, 16, 1977, p. 87-103.
• Christianidis J. et al. Having a Knack for the Non-intuitive: Aristarchus’s Heliocentrism through Archimedes’s Geocentrism, History of Science, V. 40, Part 2, No. 128, June 2002, 147—168. Статья на сайте журнала
• Dijksterhuis E. J. Archimedes. Copenhagen, 1956.
• Drachmann A. G. Fragments from Archimedes in Heron’s Mechanics. Centaurus, 8, 1963, p. 91-146.
• Heath T. L. The works of Archimedes. (Repr. NY: Dover, 2002)
• Netz R., Saito K., Tschernetska N. A new reading of Method Proposition 14: Preliminary evidence from the Archimedes palimpsest. SCIAMVS, 2, 2001, p. 9-29; 3, 2002, p. 109—127.
• Кузнецов О. Планиметрические задачи Архимеда. Статья в газете Математика . — 2002 — № 4.- С.27-31.