WikiSort.ru - Космос

Пример

На рис. 1 изображено вращающееся велосипедное колесо, висящее на двух нитях ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ . Вес колеса уравновешивается силами, вызванными деформациями нитей. Колесо обладает моментом импульса ${\displaystyle {\vec {L}}}$ , направленным по его оси, и в том же направлении направлен вектор угловой скорости вращения колеса ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ .

Пусть в некоторый момент времени нить ${\displaystyle b}$ будет разрезана. В таком случае, вопреки ожиданиям, вращающееся колесо не изменит горизонтального направления своей оси и, подобно маятнику, не будет качаться на нити ${\displaystyle a}$ . Но его ось начнёт поворачиваться в горизонтальной плоскости благодаря действию на него момента ${\displaystyle {\vec {M}}}$ силы тяжести ${\displaystyle P}$ :

${\displaystyle \ {\vec {r}}\times {\vec {P}}={\vec {M}}}$ , где ${\displaystyle {\vec {r}}}$ - радиус-вектор центра масс вращающегося тела относительно точки крепления на нити ${\displaystyle a}$ .

Поскольку

${\displaystyle dL={d\varphi }{L(t)}}$ и ${\displaystyle dL=Mdt}$ , то ${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {M}{L}}}$

и, так как угловая скорость прецессии: ${\displaystyle \omega _{p}}$ равна: ${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=\omega _{p}}$ , получаем: ${\displaystyle \omega _{p}={\frac {M}{L}}}$ или, с учётом того, что ${\displaystyle L=I\omega }$ , где ${\displaystyle I}$ есть момент инерции колеса: ${\displaystyle \omega _{p}={\frac {M}{I\omega }}}$ ^[4]

Формальное объяснение такого поведения вращающегося колеса заключается в том, что вектор приращения момента количества движения ${\displaystyle dL}$ всегда перпендикулярен вектору ${\displaystyle {\vec {L}}}$ , кроме того, он всегда параллелен вектору момента силы тяжести ${\displaystyle {\vec {M}}}$ , находящегося в горизонтальной плоскости перпендикулярно плоскости чертежа, так как сила тяжести ${\displaystyle {\vec {P}}}$ вертикальна. Поэтому ось колеса прецессирует в данном случае в горизонтальной плоскости.

Приведённое объяснение показывает, как происходит прецессия, но не даёт ответа, почему, который состоит в том, что в начальный момент под действием силы тяжести ось колеса всё же немного наклоняется в плоскости чертежа и вектор количества движения меняет своё положение в пространстве, становясь ${\displaystyle {\vec {L}}^{\prime }}$ . Однако сила тяжести не создаёт никакого момента в вертикальной плоскости, и поэтому направление и величина вертикальной составляющей момента количества движения должна оставаться прежними, что может быть достигнуто только появлением дополнительного момента количества движения ${\displaystyle \delta {\vec {L}}}$ в выражении:

${\displaystyle {\vec {L}}}$ = ${\displaystyle {\vec {L}}^{\prime }}$ + ${\displaystyle \delta {\vec {L}}}$ .

Такой дополнительный момент соответствует направленной горизонтально перпендикулярно плоскости чертежа силе, которая и вызывает прецессию^[5].