WikiSort.ru - Космос

Дельта-v

Три значения изменения скорости можно получить непосредственно из интеграла энергий,

${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$

где

• ${\displaystyle v\,\!}$  — скорость аппарата на орбите,
• ${\displaystyle \mu =GM\,\!}$  — гравитационный параметр притягивающего тела,
• ${\displaystyle r\,\!}$  — расстояние от притягивающего центра до тела на орбите,
• ${\displaystyle a\,\!}$  — большая полуось орбиты тела.

В рассматриваемой задаче

• ${\displaystyle r_{1}}$  — радиус начальной круговой орбиты,
• ${\displaystyle r_{2}}$  — радиус финальной круговой орбиты,
• ${\displaystyle r_{b}}$  — радиус общего апоцентра двух эллиптических участков переходной орбиты, свободный параметр манёвра,
• ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ равны большим полуосям эллиптических участков переходной орбиты, задаются равенствами
•  :${\displaystyle a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}},}$
•  :${\displaystyle a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}.}$

При старте с начальной круговой орбиты радиуса ${\displaystyle r_{1}}$ (тёмно-синяя окружность на рисунке), добавление скорости по направлению движения (вектор в положении 1 на рисунке) переводит космический аппарат на первый эллиптический участок орбиты перехода (бирюзовая линия). Величина необходимой дельта-v равна

${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.}$

Когда апоцентр первого эллиптического участка достигается на расстоянии ${\displaystyle r_{b}}$ , аппарату второй раз придаётся дополнительная скорость по направлению движения (вектор в положении 2 на рисунке), в результате на новой эллиптической орбите (оранжевая кривая) перицентр находится в точке касания итоговой круговой орбиты. Величина требуемой для перехода на эту часть переходной орбиты равна

${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.}$

Наконец, когда достагется финальная круговая орбита радиуса ${\displaystyle r_{2}}$ , аппарату придаётся вектор скорости против движения по орбите (вектор в положении 3 на рисунке) для перехода на итоговую круговую орбиту (красная окружность). Финальная добавка скорости равна

${\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.}$

Если ${\displaystyle r_{b}=r_{2}}$ , то манёвр преобразуется в гомановскую траекторию (в этом случае ${\displaystyle \Delta v_{3}}$ равно нулю). Следовательно, биэллиптическая орбита представляет более общий тип траектории, чем гомановская.

Максимальная экономия в смысле добавочной скорости может быть вычислена в предположении ${\displaystyle r_{b}=\infty }$ ,тогда полное значение ${\displaystyle \Delta v}$ принимает вид ${\displaystyle {\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)}$ .

В таком случае переход называется бипараболическим, поскольку оба участка траектории являются не эллипсами, а параболами. Время перелёта также стремится к бесконечности.

Время перелёта

Как и в случае гомановского перелёта, обе части траектории, используемой в биэллиптическом перелёте, являются в точности половинами эллипсов. Это означает, что время, необходимое для преодоления каждой фазы перехода, является половиной орбитального периода для каждого эллипса.

Используем уравнение для орбитального периода и указанные выше обозначения:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

Полное время перелёта ${\displaystyle t}$ является суммой промежутков времени для каждой из половин эллипсов, следовательно

${\displaystyle t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}},\quad \quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}.}$

Итоговый интервал времени:

${\displaystyle t=t_{1}+t_{2}.}$

Дельта-v

Рисунок показывает полное значение ${\displaystyle \Delta v}$ , требуемое для перехода с круговой орбиты радиуса ${\displaystyle r_{1}}$ на другую круговую орбиту радиуса ${\displaystyle r_{2}}$ . Величина ${\displaystyle \Delta v}$ нормирована на орбитальную скорость начальной орбиты, ${\displaystyle v_{1}}$ и представлена в виде функции отношения радиусов конечной и начальной орбиты ${\displaystyle R\equiv r_{2}/r_{1}}$ ; таким образом, сопоставление величин является общим, не зависящим от ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$ по отдельности, а только от их отношения.^[2]

Чёрная кривая показывает значение ${\displaystyle \Delta v}$ для гомановской траектории, цветные кривые соответствуют биэллиптическим траекториям с различными значениями параметра ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$ , определённого как расстояние апоцентра ${\displaystyle r_{b}}$ биэллиптической орбиты, делённое на радиус начальной орбиты, и указанного рядом с кривыми. На врезке крупным планом показана область, где кривые для биэллиптических траекторий пересекают кривую для гомановской орбиты первый раз.

Можно заметить, что гомановский перелёт является более эффективным при отношении радиусов ${\displaystyle R}$ меньшем 11,94. С другой стороны, если радиус итоговой орбиты более чем в 15,58 раз превышает радиус начальной орбиты, то любой биэллиптический переход вне зависимости от апоцентрического расстояния (оно должно всё же превышать радиус итоговой орбиты) требует меньшую ${\displaystyle \Delta v}$ чем гомановская траектория. В области от 11,94 до 15,58 эффективность той или иной орбиты зависит от апоцентрического расстояния ${\displaystyle r_{b}}$ . Для заданного ${\displaystyle R}$ в этом диапазоне существует значение ${\displaystyle r_{b}}$ , выше которого предпочтительна биэллиптическая траектория и ниже которого предпочтительна гомановская траектория. В следующей таблице указаны значения ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$ для некоторых случаев.^[4]

Минимум ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$ таков, что для биэллиптической траектории необходимо меньшее ${\displaystyle \Delta v}$ .^[5]

Отношение радиусов орбит, ${\displaystyle r_{2}/r_{1}}$	Минимум ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$	Комментарий
0 — 11,94	-	Гомановский перелёт лучше
11,94	${\displaystyle \infty }$	Бипараболическая траектория
12	815,81
13	48,90
14	26.10
15	18,19
15,58	15,58
более 15,58	более ${\displaystyle r_{2}/r_{1}}$	Любая биэллиптическая траектория лучше

Время перелёта

Длительное время перелёта по биэллиптической орбите

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}}$

является существенным недостатком такого орбитального манёвра. В случае бипараболической траектории время перелёта становится бесконечным.

Гомановский перелёт обычно требует меньше времени, поскольку движение происходит только по половине эллипса переходной орбиты:

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$