WikiSort.ru - Космос

Орбитальный период

В небесной механике орбитальный период ${\displaystyle T}$ обращения малых тел по эллиптической или круговой орбите вокруг более крупного центрального тела рассчитывается по формуле:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over \mu }}}$

где:

${\displaystyle a}$  — это размер большой полуоси орбиты

${\displaystyle \mu }$  — это стандартный гравитационный параметр

Следует обратить внимание, что в данной формуле для всех эллипсов период обращения определяется значением большой полуоси, независимо от эксцентриситета.

В астрономии большая полуось, наряду с орбитальным периодом, является одним из самых важных орбитальных элементов орбиты космического тела.

Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с орбитальным периодом по третьему закону Кеплера.

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$

где:

${\displaystyle T}$  — орбитальный период в годах;

${\displaystyle a}$  — большая полуось в астрономических единицах.

Это выражение является частным случаем общего решения задачи двух тел Исаака Ньютона:

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}$

где:

${\displaystyle G}$  — гравитационная постоянная

${\displaystyle M}$  — масса центрального тела

${\displaystyle m}$  — масса обращающегося вокруг него спутника. Как правило, масса спутника настолько мала по сравнению с массой центрального тела, что ею можно пренебречь. Поэтому, сделав соответствующие упрощения в этой формуле, получим данную формулу в упрощённом виде, который приведён выше.

Орбита движения спутника вокруг общего с центральным телом центра масс (барицентра), представляет собой эллипс. Большая полуось используется в астрономии всегда применительно к среднему расстоянию между планетой и звездой, в результате орбиты планет Солнечной системы приведены к гелиоцентрической системе, а не к системе движения вокруг центра масс. Эту разницу удобнее всего проиллюстрировать на примере системы Земля—Луна. Отношение масс в этом случае составляет 81,30059. Большая полуось геоцентрической орбиты Луны составляет 384 400 км, в то время как расстояние до Луны относительно центра масс системы Земля—Луна составляет 379 700 км — из-за влияния массы Луны центр масс находится не в центре Земли, а на расстоянии 4700 км от него. В итоге средняя орбитальная скорость Луны относительно центра масс составляет 1,010 км/с, а средняя скорость Земли — 0,012 км/с. Сумма этих скоростей даёт орбитальную скорость Луны 1,022 км/с; то же самое значение можно получить, рассматривая движение Луны относительно центра Земли, а не центра масс.

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось является средним расстоянием между центральным и орбитальным телом. Это не совсем верно, так как под средним расстоянием можно понимать разные значения — в зависимости от величины, по которой производят усреднение:

• усреднение по эксцентрической аномалии. В таком случае среднее расстояние будет точно равно большой полуоси орбиты.
• усреднение по истинной аномалии, тогда среднее расстояние будет точно равно малой полуоси орбиты.
• усреднение по средней аномалии даст значение среднего расстояния, усреднённое по времени:

${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right).}$

• усреднение по радиусу, которое получают из следующего соотношения:

${\displaystyle {\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}.}$

Энергия; расчёт большой полуоси методом векторов состояния

В небесной механике большая полуось ${\displaystyle a}$ может быть рассчитана методом векторов орбитального состояния:

${\displaystyle a={-\mu \over {2\varepsilon }}}$

для эллиптических орбит

${\displaystyle a={\mu \over {2\varepsilon }}}$

для гиперболической траектории

и

${\displaystyle \varepsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}}$

(удельная орбитальная энергия^[en])

и

${\displaystyle \mu =G(M+m)}$

(стандартный гравитационный параметр), где:

${\displaystyle v}$  — орбитальная скорость спутника, на основе вектора скорости,

${\displaystyle r}$  — вектор положения спутника в координатах системы отсчёта, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрический в плоскости экватора — на орбите вокруг Земли, или гелиоцентрический в плоскости эклиптики — на орбите вокруг Солнца),

${\displaystyle G}$  — гравитационная постоянная,

${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle m}$  — массы тел.

Большая полуось рассчитывается на основе общей массы и удельной энергии, независимо от значения эксцентриситета орбиты.