WikiSort.ru - Космос

Разложение тригонометрических функций

Приведём основные разложения в современных обозначениях (керальцы излагали их словесно, нередко стихами на санскрите).

№	Ряд	Пояснение	Когда и кем открыт в Европе
1	${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$	Ряд для синуса	Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
2	${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$	Ряд для косинуса	Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
3	${\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }$	Ряд для арктангенса	Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)
4	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots }$	Ряд для числа ${\displaystyle \pi }$	Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)

Эти ряды часто называют рядами Мадхавы-Лейбница или Мадхавы-Грегори^[5]. С помощью указанных рядов Мадхава рассчитал и опубликовал точные таблицы синусов^[6]. Ещё один ряд, приведенный в труде Джьештадевы^[en] со ссылкой на Мадхаву, позволяет рассчитать значение арктангенса:

${\displaystyle \theta =\operatorname {tg} \theta -{\frac {\operatorname {tg} ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\operatorname {tg} ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\operatorname {tg} ^{7}\theta }{7}}+\cdots }$

Значение числа π

Расчёт значения числа ${\displaystyle \pi }$ по приведенной выше формуле обнаружен в трактате «Махаджьянаяна», автор которого неизвестен. Часть историков приписывает его Мадхаве, другие — кому-то из его последователей в XVI веке^[7]. В трактате приводится также преобразованный ряд, который сходится быстрее:

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение ${\displaystyle 3{,}14159265359}$ , все знаки, исключая последний, верны^[8].

Возможно, Мадхаве принадлежит трактат «Садратнамала», где приводится ещё более точное значение: ${\displaystyle \pi =3{,}14159265358979324}$ (верны все знаки, кроме последнего)^[9][8]