WikiSort.ru - Космос

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

• большая полуось (${\displaystyle a}$ ),
• эксцентриситет (${\displaystyle e}$ ),
• наклонение (${\displaystyle i}$ ),
• долгота восходящего узла (${\displaystyle \Omega }$ ),
• аргумент перицентра (${\displaystyle \omega }$ ),
• средняя аномалия (${\displaystyle M_{o}}$ ).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

Большая полуось — это половина главной оси эллипса ${\displaystyle |AB|}$ (обозначена на рис.2 как a). В астрономии характеризует максимальное расстояние небесного тела от центра эллиптической орбиты.^{[источник не указан 2206 дней]}

Эксцентриситет

Эксцентрисите́т (обозначается «${\displaystyle e}$ » или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия^[1]. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$ , где ${\displaystyle b}$  — малая полуось (см. рис.2)

Можно разделить внешний вид орбиты на пять групп:

• ${\displaystyle \varepsilon =0}$  — окружность
• ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$  — эллипс
• ${\displaystyle \varepsilon =1}$  — парабола
• ${\displaystyle 1<\varepsilon <\infty }$  — гипербола, ${\displaystyle b}$  — мнимое число
• ${\displaystyle \varepsilon =\infty }$  — прямая (вырожденный случай)

Наклонение

Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если ${\displaystyle 0<i<90}$ °, то движение небесного тела называется прямым^[2].

Если ${\displaystyle 90}$ °${\displaystyle <i<180}$ °, то движение небесного тела называется обратным.

• В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узла

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Аргумент перицентра

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается (${\displaystyle \omega }$ ).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ . Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным^[3].

Средняя аномалия

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой ${\displaystyle M}$ (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия ${\displaystyle M}$ вычисляется по следующим формулам:

${\displaystyle M=M_{0}+n(t-t_{0})}$

где:

• ${\displaystyle M_{0}}$  — средняя аномалия на эпоху ${\displaystyle t_{0}}$ ,
• ${\displaystyle t_{0}}$  — начальная эпоха,
• ${\displaystyle t}$  — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• ${\displaystyle n}$  — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin E}$

где:

• ${\displaystyle E}$  — эксцентрическая аномалия (${\displaystyle E}$ на рис.3),
• ${\displaystyle e}$  — эксцентриситет.

Вычисление кеплеровых элементов

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 26 октября 2018 года.

Рассмотрим следующую задачу: пусть имеется невозмущённое движение и известны вектор положения ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ и вектор скорости ${\displaystyle \mathbf {{\dot {r}}({{\dot {x}}_{0}},{{\dot {y}}_{0}},{{\dot {z}}_{0}})} }$ на момент времени ${\displaystyle t}$ . Найдём кеплеровы элементы орбиты.

Прежде всего, вычислим большую полуось:

${\displaystyle r_{0}^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{0}^{2}={\dot {x}}_{0}^{2}+{\dot {y}}_{0}^{2}+{\dot {z}}_{0}^{2}}$

${\displaystyle r_{0}\cdot {\dot {r}}_{0}=x_{0}\cdot {\dot {x}}_{0}+y_{0}\cdot {\dot {y}}_{0}+z_{0}\cdot {\dot {z}}_{0}}$

По интегралу энергии:

(1) ${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{\mu }}}$ , где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела; для Земли μ = 3,986005⋅10⁵ км³/c², для Солнца μ = 1,32712438⋅10¹¹ км³/c².

Следовательно, по формуле (1) находим ${\displaystyle a}$ .

Примечания

См. также

• Элементы орбиты